Fonction Gamma d'Euler

Extraits de WIKIPEDIA (encyclopédie sur le Net, un outil gratuit et super utile)

En mathématiques, la fonction gamma est définie dans le demi-plan complexe de partie réelle strictement positive par l'intégrale suivante:

C'est la définition la plus fréquemment utilisée dans l'enseignement moderne, mais elle a été introduite initialement par Euler par la formule (équivalente) :

avec s Î C/Z⁻

Lien avec la factorielle

et en particulier, comme

Tout n Î N

Démonstration :

Il faut effectuer une intégration par parties sur

On utilise des fonctions u et v telles que :

$u$ $(x) = t x v'(x) = e - t$

$u$ $'(x) = xt x - 1 v (x) = - e - t$

La formule d'intégration par parties s'applique sur un segment [a,A] Î R^+*, puis par passage à la limite il vient

$Γ(x + 1) = x Γ (x)$

Lien avec les sommes de Gauss

L'intégrale apparaît comme une convolution entre un caractère additif (l'exponentielle) et un caractère multiplicatif

(x ® x^s)

Formules remarquables incluant la fonction Gamma d'Euler

En plus d'interpoler la factorielle, la fonction Gamma fait apparaître de jolies formules telles que :

la formule des compléments :

dont on déduit (cf intégrale de Gauss)

la formule de duplication de Legendre :

Cette fonction apparaît également dans des formules incluant la fonction Zeta de Riemann.

Formule asymptotique de Stirling

La formule de Stirling donne un équivalent de la fonction Gamma, et par conséquent de la factorielle, au voisinage de l'infini.

Pour la factorielle, elle s'écrit :

ou, pour une meilleure précision :

Caractérisation de la fonction gamma sur $\mathbb R$

La fonction gamma est entièrement caractérisée sur R^+* par les trois propriétés suivantes:

$˜$ $Γ(1) = 1$

˜ la fonction log ( $Γ$ ) est convexe

˜ Pout tout x > 0 on a: $Γ(x + 1) = x Γ (x)$

Intégrale de Gauss

Pour tout réel strictement positif $\ \alpha$ , la fonction (paire) $\R \to \R, x \mapsto \mathrm{e}^{-\alpha x^2}$ est intégrable sur $\R$ et :

$\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\alpha x^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\;$ .

Cette intégrale est appelée intégrale de Gauss. Elle intervient dans la définition de la loi de probabilité appelée loi gaussienne, ou loi normale.

Intégrabilité de la fonction

comme l'intégrande est pair, il suffit, pour montrer qu'il est intégrable sur $\R$ , de prouver qu'il est intégrable sur $\R^+$ . Cela résulte de ce qu'il est positif, continu, et négligeable à l'infini devant la fonction $\ x \mapsto x^{-2}$ , intégrable par exemple sur $\ [1,\, +\infty[\,$ .

Calcul de l'intégrale de Gauss

Cas particulier α = 1

La méthode classique de calcul utilise une intégrale double qu'on exprime en coordonnées cartésiennes, puis en coordonnées polaires.

Soient $G = \int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^2}\, dx$ et $H = \iint_{\R^+ \times \R^+} \mathrm{e}^{-(x^2 + y^2)}\, dx\, dy$ .

Compte tenu de ce que les variables x, y se séparent :

$H = \iint_{\R^+ \times \R^+} \mathrm{e}^{-x^2}\, \mathrm{e}^{-y^2}\, dx\, dy = \left(\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^2}\, dx\right) \left(\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-y^2}\, dy\right)= G^2$

On passe en coordonnées polaires en posant $\ x = r \cos\theta,\, y = r \sin\theta$ ; les variables r, θ se séparent elles aussi :

$H = \iint_{\R^+ \times [0,\, \frac{\pi}{2}]} \mathrm{e}^{-r^2}\, r\, dr\, d\theta = \left(\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-r^2}\, r\, dr \right)\left(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\, d\theta\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}$

On en déduit :

$G^2 = \frac{\pi}{4}$ , d'où $G = \frac{1}{2}\sqrt{\pi}$ puisque $G \geq 0$ , et enfin : $\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^2}\, dx = 2\, G = \sqrt{\pi}$ par parité.

Cas général

En effectuant dans l'intégrale de Gauss le changement de variable défini par $x = \frac{t}{\sqrt{\alpha}}$ , on obtient :

$\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\alpha x^2} dx =\frac{1}{\sqrt{\alpha}}\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-t^2} dt = \frac{1}{\sqrt{\alpha}}\, \sqrt{\pi} = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}$ .

Corollaire

Le réel (une valeur de la fonction eulérienne Gamma) est égal à $\ \sqrt{\pi}$ .

En effet, effectuant dans l'intégrale ci-dessus le changement de variable $\ t = x^2$ , où $\ x > 0$ , on obtient :

$\ \int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-t}}{\sqrt{t}}\, dt = \int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-x^2}}{x}\, 2\, x\, dx = 2 \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^2} dx = \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$ .

Nota : l'intégrande de l'intégrale de Gauss n'admet aucune primitive s'exprimant à l'aide des fonctions usuelles (exponentielle, etc.). Ceci oblige pour calculer cette intégrale à recourir à des méthodes plus ou moins "détournées", dont la plus classique et directe est celle qui utilise des intégrales doubles ; une autre méthode classique (élémentaire, mais nettement plus longue), fait appel aux intégrales de Wallis.

Identité d'Euler

L'identité d'Euler est la relation suivante :

$e^{i \pi} + 1 = 0\;$

où $\ e$ est la base du logarithme népérien, $\ i$ est l'unité des imaginaires purs (vérifiant $\ i^2=-1$ ) et $\ \pi$ est la constante d'Archimède
(le rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre).

L'identité apparaît dans le livre Introduction de Leonhard Euler, publié à Lausanne en 1748.

Dans la préface de l'un de ses cahiers, alors qu'il avait presque quinze ans, Richard Feynman, qualifia cette identité de « formule la plus remarquable au monde ».

Feynman a trouvé cette formule remarquable parce qu'elle lie des constantes mathématiques fondamentales :

· $z\,\in\mathbb{C} \quad e^z = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{z}{n}\right)^n$ ).

La formule comporte également les opérations arithmétiques fondamentales d'addition, de multiplication et d'élévation à une puissance. Cette formule est un cas particulier de la formule d'Euler en analyse complexe :

Pour tout nombre réel $\ x$ ,

$\ e^{ix} = \cos x + i \sin x \,\!$

(moyen mnémotechnique: cis(x) = cos(x)+i sin(x) )

Si nous posons $\ x = \pi$ , alors

$\ e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi \,\!$

et puisque $\ \cos(\pi) = -1$ et $\ \sin(\pi) = 0$ , nous obtenons

$\ e^{i \pi} = -1 \,\!$

et par conséquent,

$\ e^{i \pi} + 1 = 0 \,\!$

Juxtaposition de 16 triangles rectangles

Juxtaposition de 8 triangles rectangles

L'interprétation géométrique est issue de $e^{i \pi} \simeq (1 + \frac{i\pi}{N})^N \simeq -1 \;$

à partir du germe suivant réitéré N fois

En effet, d'une part, $z\,\in\mathbb{C} \quad e^z = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{z}{n}\right)^n$ et d'autre part les multiplications complexes se traduisant par des rotations, le point de coordonnées $\left(1 + \frac{i\pi}{N}\right)^N$ est obtenu en juxtaposant $N\,$ triangles rectangles comme indiqué sur la figure ci-contre.

Aussi belle et mystérieuse qu'est cette identité d'Euler, on comprend mieux géométriquement pourquoi, lorsque $N\,$ tend vers $\infty\,$ , le point d'affixe $e^{i \pi}\,$ est égal à $(-1,0)\,$

Une autre identité d'Euler en analyse à plusieurs variables

L' identité d'Euler est la relation suivante :

Si $f (x 1, x 2,..., x n)$ est une fonction de classe C¹ homogène de degré k, alors

$\sum_{i=1}^{n} x_i \frac{ \partial f}{\partial {x_i}}=k f$