OPERATIONS
On
appelle E X F, ensemble produit de E par F
l’ensemble des couples (a , b) tels a∈E et b∈F.
A ➩ B se
lit « A implique B »
Loi
de composition interne dans E :
Définition application de E X E dans E
Exemple1 addition dans Z
(+2 , +3) è (+2) + (+ 3) = +5
( –2 , +7) è (–2)+( +7)= +5
Exemple 2 Opération modulo
dans N* :
Opération
qui a un couple d’entiers non nuls (a , b) fait
correspondre le reste de la division entière de a par b
14 : 3 = 4 reste 2 d’où 14 mod 3 = 2
Si a
= bq + r avec r < q on écrit a
mod b = r
Ce
n’est pas une opération interne sur N
car on ne peut pas diviser un nombre par 0,
ni sur N* car si b est un diviseur de a, le reste de la division de a par b est 0 (➜ On sort de N* ).
Loi
de composition externe sur E :
Définition application de Ω X E dans E
Exemple :
la multiplication d’un vecteur par scalaire
Je
multiplie un vecteur 
par un scalaire par exemple 8 ,
je trouve 8 qui est un vecteur .
Propriétés des
lois de composition internes :
Dans
ce qui suit ● et ‡ sont des lois de composition interne
quelconques qu’on peut lire respectivement « loi » et « loi 2 » par
exemple
Associativité : tout
(a,b,c) ∈ E3 (a ● b) ● c = a ● ( b ● c )
Commutativité :
tout (a,b) ∈ E2 a ● b = b ● a
Distributivité à gauche de ● par
rapport à ‡ : tout (a,b,c) ∈ E3 : a●( b ‡ c) = (a ● b) ‡ (a ● c)
Distributivité à droite de ● par rapport
à ‡ : tout (a,b,c) ∈ E3 : ( b ‡ c) ● a = (b ● a) ‡ (c ● a)
Une
loi est distributive par rapport à une autre si elle est distributive à
gauche et à droite
Elément neutre : tout a ∈ E a ● e = e ● a = a (Dans R : e= 0 pour + et e = 1 pour le
produit)
Symétrique : si pour a ∈ E , il existe a-1 ∈E tel que a ● a-1 = a-1
● a = e a-1
symétrique de a pour ●
(Dans
R, le symétrique de a pour + est l’opposé –a, dans R*, pour le produit c’est
l’inverse de a (1/a))
a∈E simplifiable pour ● si tout (b,c)∈ E2 a ● b = a ●c ➩b = c
et b ● a = c ● a ➩ b = c
|
Quelques remarques et trucs utiles pour
résoudre les problèmes Attention : tant qu’on n’a pas montré qu’une loi est
commutative, on n’a pas le droit d’inverser l’ordre des éléments combinés par
la loi ● L’associativité nous permet de combiner trois
opérandes en commençant par l’association soit des 2 derniers, soit des 2
premiers, mais le résultat de cette association doit rester à sa place. Par exemple si a ● b = K alors (a ● b) ● c est équivalent à K ● c en général différent de c ● K Si b ● c = Q
alors a ● (b ● c) est équivalent à
a ● Q en général différent
de Q
● a Pour démontrer que la loi est associative il
faut démontrer que (a ● b) ● c = a ● (b ● c) Autrement dit que K ● c = a ● Q (l’ordre
dans lequel on écrit ces opérandes étant primordial) ● Si la loi n’est pas dotée de propriétés
particulières, tout ce qu’on peut faire, à partir d’une égalité A = B c’est dire (B) = (A) ou x ● (A ) = x ● (B) ou (A)
● x = (B) ● x (c’est la même opération
qui figure dans chaque membre) mais on ne peut pas, par exemple inverser
l’ordre des opérandes ou les associer autrement . De (A)
= (B) on ne peut pas déduire par exemple que x ● (A) = (B) ● x Si la loi n’est pas simplifiable, on ne peut
même pas déduire de x ● (A ) = x ● (B) que
A = B car il peut exister A ≠ B
tel que x ● (A ) = x ● (B). ● L’associativité, combinée à l’existence d’un
symétrique est souvent utilisée pour obtenir de nouvelles égalités en vue de
démontrer un résultat. Par exemple trouver la valeur de b si
a ● b = k On peut écrire a -1 ● (a ● b) = a -1 ● k (c’est toujours vrai) Puis (a -1 ● a) ● b = a -1 ● k (associativité) et donc e ● b = a -1
● k (symétrique) Soit au final
b = a -1 ● k ce qui
revient à calculer b à partir de l’équation initiale. De même, on peut calculer a à partir de : puisque a ● b = k
(a●b)●b-1 = k●b-1 (trivial)
a● (b ● b-1 )
= k ● b-1 (associativité)
a ● (e ) = k ● b-1 (élément
neutre)
et donc a = k ● b-1 ●
L’associativité, combinée à la commutativité et à l’existence d’un
symétrique ouvre de nouvelles voies . Par exemple (a ● b) ● a-1 peut être modifiée en a ● (b ● a-1 ) (associativité) Puis en
a ● (a-1
● b) (commutativité)
puis en (a ● a-1 )
● b (associativité) puis en e ● b (symétrique) ce qui donne finalement b ● Enfin, si un élément a est simplifiable, et la loi
associative, on peut par exemple déduire de (a ● b) ● c = a ● K que a ● (b ● c) = a ● K et
donc que b ● c = K . la commutativité ou l’existence d’un
symétrique (et bien sûr d’un élément neutre) nous ouvriraient d’autres
possibilités. |
STRUCTURES
GROUPES
Soit E un ensemble muni d’une loi de
composition interne ● .
On
dit que ( E , ● ) est un groupe si et
seulement si
|
La loi ● est associative dans E La loi ● admet un élément neutre Tout élément de E admet un symétrique pour ● ------------------------------------------------------------------------------------ Si de plus ● est commutative, on dit
qu’on a affaire à un groupe commutatif ou abélien |
Propriétés des groupes :
Important : Tout élément est
simplifiable : a ● b = a ● c implique b = c
Quand
on construit la table du groupe , tout élément figure
une fois et une seule dans chaque ligne ou chaque colonne sinon on aurait a ● b = a ● c avec b différent de c
Par
exemple dans C, l’ensemble E = { 1 , i , –1 , – i } forme
un groupe pour la multiplication..
La
multiplication de 2 complexes est associative (ab)c =
a(bc) , c’est aussi le cas si a, b, c appartiennent à
E.
1 est
l’élément neutre de la multiplication a(1) = (1)a = a (1
appartient à E) .
Tout
élément de E admet un symétrique
dans E (son inverse). (1)(1) = 1 ;
(–1)(–1) = 1 ; (i)( – i) = 1 ;
(– i)( i)=1
La
table du groupe pour la multiplication est la suivante
|
● |
1 |
i |
–1 |
– i |
|
1 |
1 |
i |
–1 |
– i |
|
i |
i |
–1 |
– i |
1 |
|
–1 |
–1 |
– i |
1 |
i |
|
– i |
– i |
1 |
i |
–1 |
On
remarque que tout élément figure une fois et une seule dans chaque ligne et chaque
colonne. (Ce qui est caractéristique d’un groupe)
On
remarque que chaque ligne est déduite de la précédente par une permutation
simple (la case de rang n prend le rang n–1)
Ce
groupe est fini (seulement 4 éléments) et abélien (commutatif / table symétrique
par rapport à la diagonale principale) .
Du groupe E à un groupe
d’isométries
Dans
le plan des complexes, à toute multiplication d’un nombre quelconque Z par un
complexe donné K, correspond une transformation du point d’affixe Z (composée
d’une rotation et d’une homothétie de centre O).
En
effet rappelons que si on écrit les nombres complexes sous leur forme (module,
argument) on a
Z . K
= (ρZ ;
θZ).(ρK ;
θK ) = (ρZ ρK ;
θZ + θK)
Or
ajouter θK à l’argument de Z revient à faire
effectuer une rotation de centre O et d’angle θK au point d’affixe Z .
Et
multiplier le module de Z par ρK revient à appliquer au point d’affixe Z une
homothétie (similitude) de centre O et
de rapport ρK .
Si le
module de K est 1, comme c’est le cas pour les 4 nombres de E, la transformation en question se
résout à une rotation.
On
peut donc associer la multiplication par l’un des nombres du groupe E à une isométrie particulière du plan des
complexes.
Multiplication
par 1 ➜ identité
(rotation de centre O d’angle 0° ou 360°)
Multiplication
par –1 ➜ symétrie de centre O
(rotation de centre O et d’angle 180°)
Multiplication
par i ➜ Rotation de centre O et
d’angle + 90°
Multiplication
par – i ➜ Rotation de
centre O et d’angle –90°
Multiplier
un nombre Z successivement par 2 de ces nombres revient à transformer le point d’affixe Z par la
composition des deux isométries correspondantes.
C’est
donc que ces 4 isométries forment un groupe qu’on peut appeler H pour la composition de 2 transformations.
On va
trouver que la composition de deux isométries parmi celles du groupe H
donne une isométrie du groupe H.
Que
la composition est associative, que l’identité est l’élément neutre pour la
composition, que chaque isométrie admet une isométrie réciproque (un
symétrique)
Anneaux
Soit E un ensemble muni d’une
loi interne multiplicative (●) et d’une loi interne additive (‡)
On
dit que (E, ●,‡) est un anneau si
|
(E, ‡ ) est un groupe commutatif ● est associative et distributive
par rapport à ‡ ----------------------------------------------------------------------------------------- Si de plus ● admet un élément neutre, il
est noté 1 et l’anneau est dit unitaire. Si de plus ● est commutative l’anneau
est dit commutatif |
Z,
Q, R et C
sont des anneaux mais pas N .
Dans
un anneau on peut définir f ● g
application produit de deux applications
x ➜ f ● g (x) = f(x) ● g(x)
et f ‡ g application somme de deux applications x ➜f ‡ g (x) = f(x) ‡ g(x).
Idéal
dans un anneau A
J est un idéal à gauche si
|
J est un sous groupe de (A , ‡) Tout x ∈ A et tout y ∈ J ➜ x ● y ∈ J |
Pour
un idéal à droite il faut y ● x ∈ J
Idéal
à droite et à gauche = idéal bilatère
Si l’anneau
est commutatif tout idéal est bilatère et on dit prosaïquement que c’est un
idéal.
Corps
Soit K un ensemble muni d’une loi interne multiplicative (●) et d’une loi interne
additive (‡)
On dit que (K, ●,‡) est un corps si
|
(K, ●,‡) est
un anneau K* = K
– {0} est stable pour la multiplication ● ( K* , ● ) est un groupe dont
l’élément neutre est noté 1. |
Q,
R, C sont des
corps mais pas Z . (en général l’inverse d’un
nombre de Z n’appartient pas à Z)