INTEGRATION

 

Primitives

 

Définition : F(x) primitive de f(x) définie sur [a,b] F(x) dérivable sur [a,b] et  f(x) est la dérivée de F(x) .

Si F(x) est une primitive de f(x) , F(x) + K en est une autre (K = constante)

toutes les primitives de f sont de la forme F(x) + K               

f(x) continue admet au moins une primitive

Il existe une seule primitive F(x) de f(x) telle que F(a)=b

Exemples

x2 est une primitive de 2x . x2 + 5 aussi .           

-1/x est une primitive de 1/x2 .

 

Tableau de primitives (à une constante près)

 

(x–a)a

a ≠ –1

tan x

Arg th x

aÎR

ln | x – a |

Arc tan x

 

 cÎR

ln |x - c|

ln | tan |

Arc sin x

 

ln x

X (ln x -1)

ln |tan ()|

Arg sh x

ln(x+)

ec x

Coth x

ln | sh x |

Arg ch x

ln(x+)

tan x

–ln |cos x|

th x

ln ch x

Arg th x

 

 

Nous noterons f(x) une primitive de f(x). Mais, dans le cadre de ce cours,  de manière implicite nous considèrerons que F(x) est une primitive de f(x), G(x) une primitive de g(x) etc

cos x = sin x + C et plus généralement f(x) = F(x) .

 

Intégrales

 

 

Considérons les graphes de f(x) définie et continue sur [a,b] (figure 1) et de sa primitive F(x) , (figure 2) .

Sur les 2 graphiques , découpons l'intervalle [a,b] en segments de longueur Dx, dont les extrémités sont xi et xi+1.

Sur la figure 1 , les rectangles situés sous la courbe de f(x)  forment une aire totale SDx =   (1)

 

Sur la figure 2 , on s'intéresse aux triangles situés sous la courbe de F(x) (qu'on a grossi sur la figure 3) .

Leur hauteur , BH=DFi est variable mais si on appelle ai le coeff directeur de AB , on a la relation BH = (ai)AH. 

soit DFi = (ai)Dx .

La somme des hauteurs de ces triangles est = F(b)-F(a).   (2)

 

 

On a donc sur la figure 1 :  SDx =   (1)  et sur la figure 2 :   = F(b)-F(a).   (2)

 

Si maintenant , on fait tendre Dx vers 0 , il existe une valeur dx de Dx assez petite pour que SDx de la figure 1 soit très voisine de l'aire S représentée sur la figure 4 .

Pratiquement , on n'a plus des valeurs différenciées x1 , x2 etc... mais un tissu continu de valeurs de x, si bien qu'on abandonne la notation S de la somme (1)  pour adopter la suivante :

S= 

 

 

qu'on lit somme (ou integrale) de f(x).dx quand x varie de a à b .

 

 

 

Si l'on revient aux figures 2 et 3 , lorsque Dx tend vers 0 , la droite AB , sécante par rapport à la courbe, tend vers la tangente à la courbe . Le coefficient directeur de AB qui est (ai) tend donc vers le coefficient directeur de la tangente qu'on sait être le nombre dérivé au point d'abscisse xi :  (ai) F'(xi) = f(xi) (F étant une primitive de f) .

Comme précédemment, on peut considérer que DFi et Dx tendent respectivement vers des valeurs dF et dx qu'on appelle différentielles d'une fonction et de sa variable . Elles sont liées par la relation : dF=F'(x).dx= f(x).dx .

aussi , on peut abandonner la notation S de la somme (2) pour la notation intégrale en remplaçant tan(ai)Dx par f(x).dx ce qui donne :

F(b)-F(a)=  

 

.

 

 

 

Si on identifie ce résultat et le résultat précédent , on découvre que l'aire S de la figure 4 (comprise entre la courbe f(x) , l'axe des abscisses et les droites x=a et x=b) est égale à  F(b) -F(a) .     F(x) étant une primitive de f(x) . 

S = F(b) - F(a) encore noté ou simplement  [F]

 

La notion d'aire algébrique :

S =

 

On considère que dx est positif quand a< b et négatif quand a>b . Quant au signe de f(x) , il peut varier sur [a,b].

 Ainsi , l'aire S pourra, selon le cas, être positive ou négative .

Fig 1)  a<b (dx positif) et f(x) positif sur [a,b] donc S positif .

Fig 2)  a>b  (dx négatif) et f(x) positif sur [a,b] donc S négatif

Fig 3)  a<b  (dx positif) et f(x) négatif sur [a,b] donc S négatif

Fig 4)  a<b  (dx >0). Sur [a,c] f(x) <0 on obtient une aire négative -S1 et sur [c,b] une aire positive S2.   S=S2-S1

 

Propriétés de l'intégrale

 = -            

  

 =  +     (relation de Chasles)

 

 =  +    

                                                                                                      (linéarité)         

 = K       

| | £         (valeur absolue de la somme inférieure à la somme des valeurs absolues. Voir fig 4)

 

Intégrale et moyenne

Quelle que soit l'aire S= , il existe une valeur moyenne m telle que l'aire du rectangle de largeur m et de longueur (b - a)  soit égale à S.

m(b-a) = .

 

 

 

 

 

 

On a donc m =  = . m est la moyenne de f sur [a,b] .

 

Si pour tout x de [a,b] on a   :    i f(x) h . on peut écrire  i m h

Donc on peut encadrer l'intégrale :  i(b-a)   h(b-a) .

 

 

Techniques d’intégration

 

Changement de variable

Sous l'intégrale on peut avoir f(x)dx ou f(t)dt , ce qui équivaut à un simple changement de nom de la variable et ne change pas la valeur de l’intégrale.

Mais si t et x sont des variables différentes, on ne sait pas calculer l'intégrale de f(x)dt ou de f(t)dx .

On a vu qu'entre une fonction et sa variable existe la relation df = f '(x).dx .

Donc si  dans f je procède à un changement de variable, x est  une fonction x(t) de t, et on a,

en tout point du domaine d’intégration  dx = x’(t)dt et f(x) = g(t) ,

g(t) étant la fonction obtenue à partir de f par le changement de variable t = t(x).

En règle générale, dans f on remplace une expression en x par t, donc on ne définit pas x(t) mais plutôt t(x) et il faut commencer par calculer x(t) avant de pouvoir calculer x’(t)dt.

Mais attention aux bornes de l'intégrale : si, par exemple, x varie initialement de a à b , t variera de t(a) à t(b) .  Finalement, on a :

 

1) Dans f, on fait un changement de variable f(x) = g(t).       

2) on remplace  dx par x’(t).dt .                 

3) on s’assure qu’on sait calculer la primitive de g(t).x’(t).

4) on remplace les bornes de l’intégration en x par les bornes de l’intégration en t et on procède au calcul

Exemple : soit à calculer I=. 

On sait que  est une primitive de x2. Mais quelle est la primitive de (3x+2)2 ? 

 

Essayons le changement de variable t = 3x+2 .

En appliquant dt=t'(x).dx il vient dt = 3 dx ou dx=dt/3 .

Et on pourra transformer (3x + 2)2 en t2 = g(t).

Sous l'intégrale on aura donc 1/3 (t)2.dt  qu'on transformera en 1/3 t2dt.

Et cette fois, on connaît la primitive de t2

Mais attention si x varie de 1 à 3 , t = 3x + 2 varie  de 5 à 11 . On obtient :

I = que nous vous laissons le soin de calculer.

 

 

Intégration par partie  (i.p.p)

La méthode découle du constat suivant : si u et v sont des fonctions de x , on a (u.v)' = u'v + v'u .

En appliquant la formule df=f'dx on trouve d(uv)  =   (uv)'dx   =   (u'v + vu')dx    =    u'vdx + uv'dx .

En passant aux intégrales , on a   d(uv)     =        (u'vdx + uv'dx)         =           u'vdx + uv'dx .

Et comme df = [f]  on a d(uv) = [uv] (Si on intègre sur [a ; b] : [uv] = (uv)(b) – (uv)(a)) .

 

La formule i.p.p à retenir est donc  [ uv ] =  u’vdx + uv'dx

 

Pour mener à bien une intégration par parties, il faut déterminer deux fonctions  u et v telles que 

1  I = f(x)dx = uv'dx         et … 

 

2  Soit nous connaissons une primitive de u’v , soit nous savons évaluer   u’vdx en fonction de I

 

Dans  [ uv ] =  u’vdx + uv'dx on remplace uv'dx par I l’intégrale cherchée,

 

et comme le calcul de [ uv ]  est trivial, si celui de   u’vdx  ne pose pas de problème nous sommes tirés d’affaire.

 

La première exigence est toujours remplie  en posant par exemple u=f(x) et v'dx=dx ce qui donne v'=1 c’est à dire v=x .  On a donc : u=f(x)   u'=f'(x)  v=x  v'=1.

Si f(x) est un produit de fonctions usuelles comme dans I = , on peut choisir soit

u = x et v’ = cos x,  soit u = cos x et v’ = x . En général, ce choix n’est pas indifférent.

Mais on doit connaître la primitive de u’v . Ou l’on doit savoir exprimer   u’vdx en fonction de I (par exemple sous la forme λI) .  Si ce n’est pas le cas, inutile d’aller plus loin. À moins qu’une nouvelle intégration par parties, cette fois sur uvdx  finisse par déboucher.

 

Exemple :  calculer I =  . On ne connaît pas la primitive de  xcosx.

On essaie une intégration par parties : on pose  u=x , v'=cosx donc on évalue  u'= 1 et  v = sinx .

On connaît la primitive de u’v =  sin x , donc applique la formule i.p.p  :

[xsinx] =   sinx dx + x cosx dx      I = [xsinx] – sinx dx      =    [xsinx]  [cosx]

 =     et           donc              

 I =

 

 

 

fonctions rationnelles

 

Cas particuliers

P est un polynôme de R[X] et P’ sa dérivée

La primitive de  est     ln |P|       Exemple : = ln | x2 + 5| = ln (x2 + 5) 

 

 La primitive de  est     Exemple :

 

Les fonctions contenant des exponentielles (eax) se ramènent au cas général par le changement de variable

t = eax  d’où on tire dt = at.dx et par conséquent dx = dt ce qui nous fait souvent déboucher sur l’intégration d’une

 

fraction rationnelle une fois le changement de variable opéré.

 

Exemple :

 

 

Décomposition en éléments simples de 1ere espèce dans C

Voir cette décomposition dans le cours d’algèbre : chapitre polynômes et fractions rationnelles.

Dans C on peut écrire toute fraction rationnelle sous la forme

 où Ex est un polynôme (partie entière de la fraction),

 

les an sont les racines réelles ou complexes de Q , les Kp sont des coefficients réels ou complexes selon la nature de la racine qui figure au dénominateur, l’exposant p varie de 1 à  la multiplicité des racines.

Par exemple, si an est une racine triple on trouvera dans la somme 3 termes de la forme suivante :

 

Supposons que les racines soient réelles (les ki le sont aussi)

 

EX ne pose pas de problème puisque Ex est un polynôme

 

 = K1 ln | X – an |

 

 

Donc, nous savons intégrer

 

Supposons que les racines simples soient complexes (les ki le sont aussi)

 

En posant an = a + ib,  en séparant partie réelle et partie imaginaire notre problème se ramène au suivant : Quelle est la primitive de   ?

 

On trouve  (tableau des primitives) 

Lorsque  est à coefficients réels, les termes complexes sont conjugués et les parties imaginaires finissent par

 

s’annuler.

 

Eléments simples de seconde espèce

Etudions d’abord la forme  avec b2–4ac < 0 et n entier naturel non nul.

 

On pose aX2+bX+c = a  puis y = x +  et enfin t = y

 

Le calcul de In = est ramené au calcul de Jn =  = ò f(t,n) dt

 

En intégrant par parties (u = 1/(t2 +1)n  et v’ = 1) on trouve une formule de récurrence :

Jn = soit 2nJn+1 = (2n-1)Jn + f(t,n)

 

On a donc :

J1 = = Arc tan t  et la formule de récurrence nous donnera de proche en proche J2 , J3 , …

 

 

On peut aussi faire le changement de variable t = tan u et on trouve

In =  (voir plus loin les intégrales de ce type)

 

Etudions maintenant la forme  .

Il suffit d’écrire le numérateur sous la forme X =  pour décomposer notre forme en deux formes que nous savons intégrer, l’une étant la forme précédente et l’autre la forme .

 

 

Exemple : calculer I =

 

La partie entière de la fraction Ex est nulle (d° du numérateur < d° du dénominateur)

Les pôles simples de la fraction sont 2 et 3 donc I  = = –7 ln |X–2| +9 ln |X – 3|

 

Une astuce, souvent utile : faire apparaître au numérateur le facteur qui figure au dénominateur

I=   on écrit X2 = (X2 + 1) –1 et on scinde I en 2 fractions facilement intégrables

 

I=   on écrit X3+X2+2 = X3+2X -2X+ X2+2 = X(X2+2) +(X2+2) –2X

 

et on obtient 3 fractions facilement intégrables.

 

procéder à un changement de variable

I =  en écrivant I en fonction de y =X2 la décomposition en pôles simples est plus facile

 

I =  le seul pôle étant 1 , en écrivant I en fonction de y = X+1 on simplifie l’étude

 

I =  en posant u = X3 on aura  et  sera plus facilement décomposable

 

notre but est de nous rapprocher au dénominateur de 1± X, 1± X2 à une constante prés avec un numérateur de degré inférieur , car les primitives connues ont cette forme.

 

 

Intégrales trigonométriques

 

On a à intégrer f(cos x , sin x)  dx  ,     f étant un polynôme ou une fraction rationnelle 

 

Méthode générale :

Si on pose t = tan(x / 2) on peut écrire

Sin x =    Cos x =   Tan x =   

 

et de x=2Arc tan t +2kπ on déduit dx =

 

Dés lors, f est transformée en une fraction rationnelle en t et notre étude rejoint la précédente.

 

Simplifications :

Si f(x)dx=f(–x)d(–x)   (f impaire) on posera u = cos x    x = Arc cos u dx = (-1  /  )du

 

Si f(x)dx = f(π – x)d(π – x) , on posera u = sin x          x = Arc sin u dx = ( 1  /  )du

 

Si f(x)dx = f(π + x) d(π + x) on posera u = tan x          x = Arc tan u dx =  (1/  (1+u2 ) du

 

Attention : Il faut que ces fonctions soient bijectives sur les intervalles d’intégration pour que les fonctions réciproques soient définies.

 

Primitives de sin px  cos qx     sin px  sin qx     cos px  cos qx  où p et q sont entiers.

On a

sin  a cos b =  [ sin (a+b) + sin (a–b)]

 

sin  a sin b =  [ cos (a–b) – cos (a+b)]

 

cos  a cos b =  [ cos (a+b) + cos (a–b)]

 

 À partir de là, on sait faire.

Primitives de la forme cos p x  sin q x ou cos p x   ou    sin p x  où p et q sont des entiers

On utilise les formules d’Euler cos x =   et  sin x =

On développe cos p x  et (ou) sin q x , on regroupe les termes qui ont des exposants opposés et on obtient pour chaque développement une somme de termes de la forme å a k cos kx ou å b k sin kx.

Dés lors, on retombe sur une forme de primitive connue ,

soit Σ a k cos kx ,

soit  Σ b k sin kx  

soit   Σ a k b k’ (sin k ’x) (cos kx)

Exemple : cos3 x = ()3 =  (ei3x + 3ei2xe-ix + 3eixe-2ix + e-3ix)

= = .

 

On sait calculer une primitive de cette expression et si on la multipliait par sin p x sous la même forme, le produit obtenu ne poserait pas plus de problème puisqu’on sait intégrer sin px  cos qx  

 

 

Primitives de la forme In = cos – n x   ou Jn =   sin – n x   où n est un entier naturel

 

Si n est pair , on pose n = 2p puis on pose t = tan(x )

I2p = (1+t2) p –1dt : un polynôme qu’on développe avant de l’intégrer.

En particulier si p = 1 :   

 

Pour calculer J2p on commence par le changement de variable y = π/2 – x : sin (π/2 – y) = cos y

Ce qui nous ramène au cas précédent.

 

Si n est impair , on pose n = 2p +1

Pour J2p+1 on procède au changement de variable t = tan (x / 2)    J2p+1=

 

Une fraction rationnelle simple à décomposer et à intégrer pour p petit (dénominateur en t k). 

Par exemple : = ln |t| = ln |tan (x/2)|

 

Le calcul de I2p+1 se ramène au précédent en posant y = π/2 – x : cos (π/2 – y) = sin y

Par exemple  = – ln |t| = – ln |tan (y/2)| = – ln |tan (π/4 – x/2)|

 

 

Primitives de la forme In = tan n x  où n est un entier

 

Si n est négatif on pose y = π/2 – x et tan n x = tan – n y  (on retrouve le cas où n est positif)

Si n est positif et impair n = 2p +1 on pose t = cos 2x : I2p+1=

 

On procède à un autre changement de variable u = 1 + t  qui nous permet de décomposer facilement

I2p+1 en intégrales simples.

 

Si n = 1 il est plus simple de faire le changement de variable t = cos x

Puisque tan x =  et dt = – sin x dx  on a ò tan x = –  = – ln |t| = – ln |cos x|

lorsque n est positif impair ou  pair  on peut aussi poser t = tan x et on a In = dt .

Une fois calculée la partie entière de la fraction, son reste est facile à intégrer .

Par exemple t3 = (1 + t2) t –t. La partie entière de la fraction est t  et on connaît la primitive de –.

C’est –.

 

 

Intégrales de Walis

Im =           où m est un entier naturel

 

On pose u = sinm–1x et v’=sinx      u’ = (m-1)(cos x) (sinm–2 x) et v = cos x

 

D’où l’on déduit : Im =  [ – sin m–1x cos x ] (0 , π/2)    +     Im–2

 

Im =  Im–2

 

 

 

Comme I0 =   et I1 = 1

si m est pair  (m=2p) on a Im =

 

Si m est impair (m = 2p+1) on a Im =

 

                                                                                                               Avec :

 

                                                                                              2x4x6x..x2p = 2 p (p ! )

                                                                                                                      Et 3x5x7x..x(2p–1) =

 

 

Remarquons que  =  (changement de variable x =  u )

 

On montre, en encadrant les intégrales que Im est une suite décroissante et que lim (Im+1 / Im) = 1

 

Donc = (2p+1) lim ( I2p+1)2    et     In

 

 

Primitives d’expressions avec radicaux

 

Nos primitives de référence sont

Arcsin x

Arccos x

Arg sh x

Arg ch x

 

Avec, si l’on veut    Arg sh x = ln |x+|   et             Arg ch x = ln |x+|  et |x| 1

 

Plus généralement , si k est une constante et u une variable

Arc sin

 ()

Arc cos

Arg sh

Arg ch  

( )

              () avec k  > u                                                                                              () avec u  > k

 

Avec si l’on veut Arg sh  = ln |u + |    et      Arg ch  = ln |u + | 

 

Primitives de la forme

 

Si a = 0 la primitive est

si a ≠ 0 on écrit le polynôme sous la forme a [ ( ] soit a [u2 ± K2] et la solution est triviale.

 

Primitives de la forme

On se ramène au cas précédent en posant t =          et x=

 

Finalement on doit intégrer –

 

 

Primitives de la forme

Si a = 0 la primitive est

 

Si a  ≠ 0 , on écrit le polynôme sous la forme a [u2 ± K2] ou si a < 0 :  |a|[ K2 ± u2]

Selon ce qu’il y a sous le radical, on fait les changements de variables suivants qui nous ramènent à des intégrales connues :

  on pose  = sin t  et on a cos2 t sous le radical k2 cos2 t dt =   (1+cos 2t) dt

 

  on pose  = sh t  et on a ch2 t sous le radical  k2 ch2 t dt =  (1+ch 2t) dt

 

  on pose  = ch t  et on a sh2 t sous le radical k2 sh2 t dt=   (ch 2t – 1) dt

 

 

 

Primitives de la forme     ou       où f est une fraction rationnelle.

 

 

On prend pour variable u =                 x =   et dx=

 

Ce qui nous ramène à l’intégration d’une fraction rationnelle.

 

Primitives de la forme  où f est une fraction rationnelle

 

On met le polynôme sous le radical sous la forme canonique et selon sa forme :

  on pose  = sin t  et on a cos2 t sous le radical

 

  on pose  = sh t  et on a ch2 t sous le radical

 

  on pose  = ch t  et on a sh2 t sous le radical

 

Il nous reste une fraction rationnelle avec des formes trigonométriques ou hyperboliques qu’on devrait savoir résoudre, au prix d’un nouveau changement de variable.